MaIn forum

No ok, pewnie zaraz się tym zajmę,a póki co mała poprawka do drugiego zadania.

No dobra, wiec mam coś takiego:
xn+1 = Bxn + c

gdzie B= -U(D+L)-1 c=(D+L)-1

i co? teraz muszę sprawdzić kiedy zachdzi:
||-U(D+L)-1|| inf < 1 ?

Ja nawet nie wiem co mam robić

to mieliśmy (z poprzedniego forum), no więc trzeba to udowodnić przy założeniach że macierz jest dominująca diagonalnie, czyli

Ok mam 3 pytania:

1) Skąd to wynika z Tw Jordana?

2) Czy zachodzi ||A||2 = max z |λk| ?

3) Normy są równoważne, czyli jak ||A||2 < 1 to każda inna też?

3) Na pewno nie zachodzi to dla wektorów, więc dla macierzy też raczej nie. Dla wektorów, dla ustalenia uwagi z R^2, weźmy punkt x = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2). ||x||_2 = 1, ale ||x||_1 = sqrt(2). Koniec kontrprzykładu

2) Nie wiem, ale podobno zachodzi . Skąd - nie pytaj

1) Twierdzenie Jordana mówi o istnieniu rozkładu , gdzie \Lambda jest postaci Jordana (ale dla B^T = B jest diagonalna z wartościami własnymi B na diagonali, przypadek kiedy nie jest diagonalna jest trochę trudniejszy, ale też działa - mieliśmy taką pracę domową).

Niech \alpha będzie rozwiązaniem równania x = Bx + f. Stąd:

Odejmując stronami mamy, że jeżeli e_k to błąd na k-tym kroku, to e_(k+1) = Be_k.

Rozwijamy rekurencję dostając e_k = B^k * e_0. No ale z tw. Jordana mamy, że . Chcemy, żeby B^k * e_k zbiegało do 0, ale e_0 jest dowolne (zależy od wyboru x_0), więc potrzebujemy, żeby to B^k -> 0 z k -> \infty. Na diagonali \Lambda^k są wartości własne podniesione do k-tej potęgi, więc żeby B^k -> 0, musi być, że każda wartość własna jest mniejsza od jedynki.

Uff.

Ok odnośnie moich zadanek, w zad 1) dostałem coś takiego:

a)


znamy własności własne A są to  -1,0,3,9  wartości własne A^2  to kwadraty  1 0 9 81   (bo A^T=A więc  A=QDQ^T   A^2 = QD^2Q^T
gdzie D macierz diagonalna z wartościami własnymi),  potem mnożymy to przez \tau i dodajemy (1 + \tau) i otrzymujemy:

promień spektralny macierzy B = 1 + 82*\tau (B <- macierz iteracyjna) no i on co do modułu musi być mniejszy od jedności więc



hmm?

Ale co to jest granica w sensie b i A to ja nie wiem ;/

b) Nie wiem gdzieś wyczytałem, że "promień spektralny jest pewną asymptotyczną miarą efektywności metody iteracyjnej" , zatem minimalizujemy go:

mamy takie wartości własne macierzy B  |1+2\tau| , |1+\tau| , |1+10\tau| , |1+82\tau|  no i minimum z maxa wartości tych funkcji wyszło mi dla |1+\tau| = |1+82\tau| co jest :


tylko po co w treści coś o normie drugiej mówią? ;/

saf napisał:

Jeśli to prawda, to chyba zbieżność można mierzyć w dowolnej normie i wyjdzie na to samo?

Ponoć wszystkie normy w R^N są równoważne, czyli zbieżność można pokazywać na dowolnej.

Rozwiązanie kolokwium z grupy Szczepana, proszę skrytykować jak coś źle (w szczególności jak źle zapamiętałem zadanie)

Oszacować rząd zbieżności metody Newtona w pobliżu pi/2 dla funkcji:
a) cos x
b) sin x - 1        (1 - sin x wygląda mniej więcej tak samo, więc nawet jak się pomyliłem co do treści to powinno być dobrze)

Będziemy iterację Newtona traktować jako iterację Banacha , gdzie .

Mamy oczywiście Fi(pi/2) = pi/2, bo pi/2 jest miejscem zerowym obu funkcji. Ale:
Ad a)


Uwierzcie na słowo, że Fi'''(x) nie równa się zero.

No i teraz wytaczamy na tę muchę artylerię w postaci Wniosku z Twierdzenia Banacha o Kontrakcji (wykład 2., strona 16 mojego zeszytu i pewnie jeszcze gdzieś). Jeżeli Fi'(x*) = Fi''(x*) = 0, to iteracja jest zbieżna z wykładnikiem co najmniej 3.

Ad b)
Można Wnioskiem, ale to "co najmniej" psuje obraz. Więc z wniosku z wniosku, który mam na stronie następnej zeszytu, a który mówi że jeżeli x* jest izolowanym m-krotnym miejscem zerowym f, czyli
0 = f(x*) = f'(x*) = ... = f^(m-1)(x*), to iteracja Newtona jest zbieżna tylko liniowo ze stałą (1 - 1/m), wynika, że zbieżność jest liniowa ze stałą 1/2 (lipnie).

Ujdzie?

Czy węzły Czebyszewa pojawiły się na zajęciach?

(spojrzenie na definicję na http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN09 wtłacza w mą głowę myśl, że nie było oraz że lepiej trzymać się od tego z daleka)

Edit: nie jest takie straszne, a nawet jest logiczne - chcemy zagęścić na końcach, więc bierzemy cosinus, bo na końcach przedziału [0, pi] wolno się zmienia. Ale dowód pominę do przeczytania na kiedy indziej

Ok moje zadanka ostatniej szansy na piątkową kartkówkę,
najpierw to:


a = X_0 < ... < x_n=b   h= (b-a)/N    x_i = x_0 + ih

Znaleźć c,d należące do R  t. że:



jest klasy 

W pierwszym - wydaje mnie się - jest błąd. Nie znajdziesz takiej funkcji liniowej, bo musiałaby mieć na jednym końcu przedziału pochodną dodatnią, na drugim ujemną. QED.

W drugim obejrzyj

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t … 5.9B.C4.87

- dowód twierdzenia o błędzie interpolacji dla splajnu chyba liniowego, i sprobuj przez analogie